Von aa werde ae genommen und zu cc als cd hinzugesetzt, so daß die ganze Linie dcc die Linie ea um das Stück cd und ef übertrifft, und mithin die Linie bb um das Stück cd.
Das Gesagte muß auch noch in anderer Hinsicht, bei den Leistungen der verschiedenen Künste, vor Augen gehalten werden.
Das Produkt beider Größen bleibt dabei immer konstant.
Wert 1 • Wert 2 = a
Probiere dazu gleich ein Beispiel:
Die Pizzeria liefert auch zu euch nach Hause. Dabei gibt es zwei verschiedene Arten von Proportionalität.
Bei der direkten Proportionalität gilt:
2. Wichtig ist, dass die gefragte Größe immer die zugeordnete Größe ist.
Kosten Rosen €, so ist der Preis proportional zur Anzahl der Rosen.
Nun möchte man den Preis für Rosen berechnen. Der Richter stellt die Gleichheit her und macht es, wie wenn er eine in ungleiche Teile geteilte Linie vor sich hätte, von deren größerem Teile er das Stück, um welches derselbe größer ist als die Hälfte, wegnähme und zu dem kleineren Teile hinzutäte.
So aber übertrifft sie die Mitte um das einfache Stück, und die Mitte wieder die verminderte Größe um dasselbe. Zum Richter gehen heißt aber soviel, als zur Gerechtigkeit gehen, da der Richter gleichsam die lebendige Gerechtigkeit sein soll. Daher versucht der Richter dieses Unrecht, als welches in der Ungleichheit besteht, auszugleichen. Dieser ist genauso groß wie der berechnete Proportionalitätsfaktor.
Beim Übel aber ist es umgekehrt.
Quiz zum Thema Proportionalität
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Prima!
Der Verhältniswert, um den sich beide Werte ändern, heißt Proportionalitätsfaktor. Es ist also teils ein Mehr, teils ein Weniger, wie es auch tatsächlich zutrifft.
Im Schaubild bedeutet dies, einen Wert der -Achse durch einen Wert der -Achse zu dividieren.
Um verschiedene Werte auf Proportionalität zu prüfen, genügt es, überall den Proportionalitätsfaktor zu berechnen. Gewinnen bedeutet nämlich eigentlich mehr erhalten, als man hatte, und Verlieren bedeutet weniger erhalten, als man vorher besaß, wie bei Kauf und Verkauf und jedem solchen gesetzlich erlaubten Verkehr.
Deshalb kannst du ihn als Steigung in die Geradengleichung einsetzen.
y = k•x
y = 10 • x
(03:40)
Bei indirekter Proportionalität gilt der Grundsatz: „Je mehr, desto weniger“ und „je weniger, desto mehr“.
Steigt einer der Werte, so steigt auch der andere. Eine einmalige Bibliothek. Und wenn nicht mehr und nicht weniger vereinnahmt wird, sondern gleiches um gleiches, dann sagt man, man erhalte das Seinige und erleide weder Verlust noch mache man Gewinn.
So ist denn dieses Recht eine Mitte zwischen einem nicht auf freiem Willen beruhenden Gewinn und Verlust, also dies, daß man vor wie nach das Gleiche hat.
(00:15)
Proportionalität gibt das Verhältnis zwischen zwei Größen an.
B. eine Geldverteilung aus öffentlichen Mitteln stattfindet, so muß sie nach dem Verhältnisse geschehen, das die Leistungen der Bürger zu einander haben; und das diesem Rechte entgegengesetzte Unrecht ist was diesem Verhältnisse zuwiderläuft. Übersetzt heißt dies „je Anteil“. Den Gesamtpreis für alle Pizzen nennst duzugeordnete Größe.
Das Verhältnis, in dem sie zueinander stehen, kannst du auch mit einer Zahl ausdrücken.
Ist dieser überall gleich, so sind die Werte proportional zueinander.
Bei der indirekten Proportionalität (umgekehrte Proportionalität, Antiproportionalität) ist das Produkt zweier Größen immer konstant.
Die x-Achse stellt die Anzahl der Auslieferer dar und die y-Achse die Anzahl der Pizzen, die ein Auslieferer übernimmt.
| Anzahl der Auslieferer | 1 | 2 | 4 | 8 |
| Anzahl der Pizzen pro Auslieferer | 20 | 10 | 5 | 2,5 |
Zeichnest du nun die 4 Wertepaare in das Koordinatensystem ein, kannst du die Punkte zu einem Graphen verbinden.
Vervierfacht sich eine, vervierfacht sich die andere auch.
| Menge | Preis | Preis pro Menge | Menge pro Preis |
|---|---|---|---|
| 1 Stück | |||
| 2 Stück | |||
| 3 Stück | |||
| 4 Stück | |||
| 5 Stück |
Für „proportional“ verwenden wir das Tildezeichen .
Der Zusammenhang zwischen Preis und Pizzamenge ist also direkt proportional. Gutenberg Edition 16.
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Genauso gibt es auch eine indirekte Proportionalität:
Das liegt daran, dass bei der direkten Proportionalität die Größen quotientengleich sind: Teilst du eine Größe und ihre zugeordnete Größe, kommt immer der gleiche Quotient raus. Die Proportionalität besteht zwischen den beiden Größen „Menge der Schokoriegel“ und „Preis“.
Du kannst zum Beispiel auch die 7Pizzen für 70 € nehmen und erhältst die folgende Rechnung:
k = = 10 €/Pizza
Wie du siehst, kommt wieder der gleiche Wert für den Proportionalitätsfaktor raus. Jetzt weißt du, wie du die verschiedenen Proportionalitäten berechnen und darstellen kannst. Wenn aber das Ganze in zwei Teile geteilt ist, so sagt man; »jeder hat sein Teil«, wenn sie gleiches bekommen haben.
Die Proportionalität beschreibt ein Verhältnis zwischen zwei Werten.