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Satz des Pythagoras
Einführung:
Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks her.
Also kannst du die Fläche von deinem großen Quadrat auch so berechnen: c2 + 4·(· a · b).
Danach setzen wir die 4 cm für die Gegenkathete ein und für Alpha 53,13 Grad. Wie lange ist die Hypotenuse?
Lösung:
Wir setzen in a2 + b2 = c2 die beiden Katheten ein. Klasse behandelt. Quelle: Youtube.com
In diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zur Berechnung der Hypotenuse an.
F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?
A: Der Satz des Pythagoras und die Winkelfunktionen werden in der Regel in der 8.
Die rote Seite liegt am Winkel.
Der Kathetensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über einer Kathete ( bzw.
In diesem Kapitel wirst du sehen was der Satz des Pythagoras ist und wie du ihn verwendest.
Wiederholung
Wichtige Begriffe
Im Beitrag Geometrie des Dreiecks kannst du nochmal die wichtigsten Begriffe im rechtwinkligen Dreieck wiederholen.
Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel.
Wie das geht, erfährst du hier. Zwei Fragen stellt man sich dabei: Wie heißen die Seiten des Dreiecks? Da dein Dreieck rechtwinklig ist, kannst du den Flächeninhalt eines der Dreiecke mit · a · b berechnen. Im Anschluss wird diese Formel umgestellt.
Für die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck gilt: h² = p · q.
Die Seiten a und b sind dabei die beiden kürzeren Seiten (Katheten) und c ist die lange Seite gegenüber dem rechten Winkel (Hypotenuse).
Dann schneidest du noch vier gleiche rechtwinklige DreieckeABC mit den Seitenlängen a, b und c aus.
An jede Seite von c2 legst du dann eines der Dreiecke so, dass sich ein größeres Quadrat bildet. Weiß man also zum Beispiel die Länge von a und b, kann man die Länge von c damit berechnen.
a+b=2r+2R heißt a+b=2ab/(a+b+c)+c. Es sollte jedem klar sein, dass insbesondere der Satz des Pythagoras auch durchaus im Alltag einmal vorkommen kann. Dieser ist ein Spezialfall des Kosinussatzes, nämlich wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Dabei fassen wir zusammen zu 25 cm2 und ziehen im Anschluss aus der 25 und cm2 die Wurzel.
Wir ergänzen die Hypotenuse mit 5 cm in unserer Grafik.
Anzeige:In diesem Abschnitt sehen wir uns noch die Berechnung der Hypotenuse mit Winkel an.
Immer wenn du eine Kathete berechnen möchtest, ist der Satz des Pythagoras eine Minus-Aufgabe. Wir zeichnen uns ein rechtwinkliges Dreieck ABC, den Lotfußpunkt (Punkt an dem die Höhe die Dreiecksseite schneidet) nennen wir L.
Der Radius des Inkreises eines rechtwinkligen Dreiecks ist, wie oben hergeleitet, r = ab/(a+b+c).
Gesucht ist die Seitenlänge \(b\).
\(a=3\)
\(c=4\)
Nach dem Satz von Pythagoras gilt:
\(a^2+b^2=c^2\)
Den Satz den Pythagoras können wir genau wie jede andere Gleichung umstellen. ... Hinweise: Ist p < 100, so ist W < G. Ist p = 100, so ist W = G.
Die pq-Formel ist eine der wichtigsten Formeln um quadratische Gleichungen zu lösen, wie zum Beispiel: x2 + 2x + 1 = 0.
Die kannst du jetzt gleichsetzen:
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
Die Gleichung kannst du jetzt vereinfachen, indem du auf beiden Seiten der Gleichung 2ab abziehst.
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab | – 2ab
a2 + b2= c2
Du siehst: Der Satz des Pythagoras bleibt übrig!
Daraus folgt: a2+b2=c2
\(a=5\)
\(b=4\)
Nach dem Satz von Pythagoras gilt:
\(a^2+b^2=c^2\)
Nun Können wir für \(a\) und für \(b\) die gegebenen Werte in den Satz des Pythagoras einsetzen und erhalten \(c^2\).
Die Formel dazu wird meistens mit der Gleichung a2 + b2 = c2 beschrieben. Diese ist hier in grün eingezeichnet:
Die beiden anderen Seiten nennt man Katheten. Du kannst ihn anwenden, indem du die Gleichung umstellst.
Dass sich jetzt ein Quadrat gebildet hat, liegt an der Innenwinkelsumme.
In einem Dreieck beträgt die Summe der Winkel nämlich 180°. Wir berechnen den Sinus mit dem Taschenrechner (auf DEG) stellen. Sei γ=90°, dann wäre cos(90°)=0. Außerdem gilt: p = b · cos(α).